a^3+b^3+c^3≥3abc a＞0 b＞0 c＞0

a^3 + b^3 + c^3 - 3abc
= (a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc)(a+b+c) =
1/2 * [(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2](a+b+c)
显然两个因子都 ≥0 ,
so,
上式≥0

a^3+b^3+c^3>=3abc

上面的公式是常用的，应该记住。

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+c^3)-(3abc+3a^2b+3ab^2)
=[(a+b)^3+c^3]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-3ab-ac-bc)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
显然a+b+c>0

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac
=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)/2
=[(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+c^2)]/2
=[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2>=0
所以
a^3+b^3+c^3-3abc>=0
a^3+b^3+c^3>=3abc